Quelles sont les formules du triangle ?

Introduction

Le triangle est l’une des formes géométriques les plus fondamentales et les plus étudiées en mathématiques. Il est composé de trois côtés et trois angles. Les triangles peuvent être classés en différentes catégories en fonction de leurs côtés et de leurs angles. Dans cet article, nous allons explorer les différentes formules du triangle, qui nous permettent de calculer les longueurs des côtés, les mesures des angles, ainsi que d’autres propriétés importantes.

Les formules basiques

1. Formule de la somme des angles

La somme des angles d’un triangle est toujours égale à 180 degrés. Cette formule est connue sous le nom de théorème des angles internes d’un triangle. Ainsi, pour tout triangle ABC, nous avons :

∠A + ∠B + ∠C = 180°

2. Formule de l’aire du triangle

L’aire d’un triangle peut être calculée en utilisant différentes formules en fonction des informations disponibles. Voici quelques-unes des formules les plus couramment utilisées :

– Aire = (base × hauteur) / 2

– Aire = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), où s est le demi-périmètre du triangle et a, b et c sont les longueurs des côtés.

– Aire = ½ × produit des longueurs des deux côtés non adjacents × sin(angle entre ces deux côtés)

3. Formule de la distance entre deux points

La distance entre deux points dans un plan cartésien peut être calculée à l’aide de la formule de la distance. Si nous avons deux points A(x1, y1) et B(x2, y2), la distance entre ces deux points est donnée par :

Distance AB = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²)

Les formules des côtés et des angles

1. Formule de la longueur d’un côté

La longueur d’un côté d’un triangle peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore ou la loi des cosinus, en fonction des informations disponibles.

– Théorème de Pythagore : Si nous avons un triangle rectangle avec les longueurs des deux côtés adjacents a et b, et la longueur de l’hypoténuse c, alors nous avons la formule suivante :

c² = a² + b²

– Loi des cosinus : Si nous avons un triangle quelconque avec les longueurs des trois côtés a, b et c, et l’angle opposé au côté c, alors nous avons la formule suivante :

c² = a² + b² – 2ab × cos(C)

2. Formule des angles d’un triangle

Les angles d’un triangle peuvent être calculés en utilisant différentes formules, en fonction des informations disponibles.

– Théorème de l’angle extérieur : L’angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents. Ainsi, pour tout triangle ABC, nous avons :

∠D = ∠A + ∠B

– Loi des sinus : Si nous avons un triangle quelconque avec les longueurs des côtés a, b et c, et les angles opposés respectivement aux côtés a, b et c, alors nous avons la formule suivante :

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Les propriétés spéciales des triangles

1. Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles sont égaux à 60 degrés. Voici quelques propriétés spéciales des triangles équilatéraux :

– Les hauteurs, les médianes et les bissectrices d’un triangle équilatéral sont toutes identiques.
– L’aire d’un triangle équilatéral peut être calculée en utilisant la formule : Aire = (√3/4) × côté².
– Le cercle circonscrit à un triangle équilatéral a le même centre que le triangle et passe par chacun de ses sommets.

2. Triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (90 degrés). Voici quelques propriétés spéciales des triangles rectangles :

– Le côté opposé à l’angle droit est appelé l’hypoténuse.
– Les côtés adjacents à l’angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit.
– Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles.

Liste à puce

– Formule de la somme des angles : ∠A + ∠B + ∠C = 180°
– Formule de l’aire du triangle : Aire = (base × hauteur) / 2, Aire = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), Aire = ½ × produit des longueurs des deux côtés non adjacents × sin(angle entre ces deux côtés)
– Formule de la distance entre deux points : Distance AB = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²)
– Formule de la longueur d’un côté : c² = a² + b² (théorème de Pythagore), c² = a² + b² – 2ab × cos(C) (loi des cosinus)
– Formule des angles d’un triangle : ∠D = ∠A + ∠B (théorème de l’angle extérieur), a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) (loi des sinus)

Tableau résumé

Formule	Description
Somme des angles	∠A + ∠B + ∠C = 180°
Aire du triangle	Aire = (base × hauteur) / 2, Aire = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), Aire = ½ × produit des longueurs des deux côtés non adjacents × sin(angle entre ces deux côtés)
Distance entre deux points	Distance AB = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²)
Longueur d’un côté	c² = a² + b² (théorème de Pythagore), c² = a² + b² – 2ab × cos(C) (loi des cosinus)
Angles d’un triangle	∠D = ∠A + ∠B (théorème de l’angle extérieur), a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) (loi des sinus)

Avis de la rédaction

Les formules du triangle sont essentielles pour résoudre des problèmes géométriques et calculer les propriétés des triangles. Elles permettent de calculer les longueurs des côtés, les mesures des angles, ainsi que d’autres caractéristiques importantes. Il est important de comprendre ces formules et de les appliquer correctement pour résoudre efficacement les problèmes liés aux triangles.

FAQ

1. Comment calculer l’aire d’un triangle ?

L’aire d’un triangle peut être calculée en utilisant différentes formules en fonction des informations disponibles. Les formules les plus couramment utilisées sont :

– Aire = (base × hauteur) / 2

– Aire = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), où s est le demi-périmètre du triangle et a, b et c sont les longueurs des côtés.

– Aire = ½ × produit des longueurs des deux côtés non adjacents × sin(angle entre ces deux côtés)

2. Comment calculer la longueur d’un côté d’un triangle ?

La longueur d’un côté d’un triangle peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore ou la loi des cosinus, en fonction des informations disponibles.

– Théorème de Pythagore : c² = a² + b²

– Loi des cosinus : c² = a² + b² – 2ab × cos(C)

3. Comment calculer les angles d’un triangle ?

Les angles d’un triangle peuvent être calculés en utilisant différentes formules, en fonction des informations disponibles.

– Théorème de l’angle extérieur : ∠D = ∠A + ∠B

– Loi des sinus : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

4. Quelles sont les propriétés spéciales d’un triangle équilatéral ?

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles sont égaux à 60 degrés. Quelques propriétés spéciales des triangles équilatéraux sont :

– Les hauteurs, les médianes et les bissectrices d’un triangle équilatéral sont toutes identiques.

– L’aire d’un triangle équilatéral peut être calculée en utilisant la formule : Aire = (√3/4) × côté².

– Le cercle circonscrit à un triangle équilatéral a le même centre que le triangle et passe par chacun de ses sommets.

5. Quelles sont les propriétés spéciales d’un triangle rectangle ?

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (90 degrés). Quelques propriétés spéciales des triangles rectangles sont :

– Le côté opposé à l’angle droit est appelé l’hypoténuse.

– Les côtés adjacents à l’angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit.

– Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles.

Sources

– Livre : “Géométrie pour les nuls” de Mark Ryan
– Site web : www.mathsisfun.com
– Cours de mathématiques du lycée