Comment justifier l’aire d’un triangle ?

Introduction

Le calcul de l’aire d’un triangle est un concept fondamental en géométrie. Il permet de mesurer la surface occupée par cette figure géométrique et est utilisé dans de nombreux domaines, tels que l’architecture, la construction, la cartographie, etc. Mais comment justifier mathématiquement la formule de l’aire d’un triangle ? Dans cet article, nous allons explorer différentes méthodes de justification, en commençant par les plus simples et en progressant vers des démonstrations plus avancées.

Les bases de la géométrie

Pour comprendre la justification de l’aire d’un triangle, il est important de connaître les bases de la géométrie. Un triangle est une figure géométrique composée de trois côtés et de trois angles. Les côtés sont les segments qui relient les sommets du triangle, tandis que les angles sont les intersections des côtés. L’aire d’un triangle est la mesure de la surface qu’il occupe dans un plan.

La formule de l’aire d’un triangle

La formule de l’aire d’un triangle dépend de la longueur de sa base et de sa hauteur. La base est l’un des côtés du triangle, tandis que la hauteur est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé. La formule de l’aire d’un triangle est donc :

Aire = (base * hauteur) / 2

Cette formule peut sembler arbitraire, mais elle peut être justifiée de différentes manières.

Justification par découpage et recollement

Une méthode simple pour justifier la formule de l’aire d’un triangle consiste à découper le triangle en deux parties, puis à les recoller pour former un rectangle.

Considérons un triangle ABC avec une base AB et une hauteur h. Découpons le triangle en deux parties en traçant une ligne parallèle à la base à partir du sommet C, jusqu’à ce qu’elle rencontre le côté AB en un point D. Maintenant, nous avons deux triangles : ACD et BCD.

Calculons l’aire de chaque triangle :

Aire(A) = (base * hauteur) / 2 = (AB * h) / 2

Aire(B) = (base * hauteur) / 2 = (AB * h) / 2

La somme des aires des deux triangles est donc :

Aire(A) + Aire(B) = (AB * h) / 2 + (AB * h) / 2 = AB * h

Maintenant, recollons les deux triangles pour former un rectangle. Le côté AB du triangle devient la base du rectangle, tandis que la hauteur h du triangle devient la hauteur du rectangle. L’aire du rectangle est :

Aire(rectangle) = AB * h

Comme nous avons montré que l’aire des deux triangles est égale à l’aire du rectangle, nous pouvons conclure que :

Aire(A) + Aire(B) = Aire(rectangle)

Et donc :

(AB * h) / 2 + (AB * h) / 2 = AB * h

Divisons les deux côtés de l’équation par AB :

(h / 2) + (h / 2) = h

Et simplifions :

h = h

La formule de l’aire d’un triangle est donc justifiée par découpage et recollement.

Justification par l’aire du parallélogramme

Une autre méthode de justification de la formule de l’aire d’un triangle consiste à utiliser l’aire du parallélogramme.

Considérons un triangle ABC avec une base AB et une hauteur h. Traçons une ligne parallèle à la base à partir du sommet C, jusqu’à ce qu’elle rencontre le côté AB en un point D. Maintenant, nous avons un parallélogramme ABCD.

L’aire du parallélogramme ABCD est égale à la base AB multipliée par la hauteur h :

Aire(parallélogramme) = AB * h

Mais nous ne voulons que la moitié de cette aire, car nous avons seulement la moitié du triangle. Donc :

Aire(triangle) = (AB * h) / 2

La formule de l’aire d’un triangle est donc justifiée par l’aire du parallélogramme.

Justification par la trigonométrie

Une autre méthode de justification de la formule de l’aire d’un triangle consiste à utiliser des concepts trigonométriques.

Considérons un triangle ABC avec une base AB et une hauteur h. L’angle entre la base et la hauteur est noté θ.

L’aire du triangle peut être calculée en utilisant la formule :

Aire(triangle) = (AB * h * sin(θ)) / 2

où sin(θ) est le sinus de l’angle θ.

Cependant, nous pouvons utiliser une identité trigonométrique pour simplifier cette formule :

sin(θ) = 1/2 * (2 * sin(θ)) = 1/2 * (AB / h)

En substituant cette expression dans la formule de l’aire du triangle, nous obtenons :

Aire(triangle) = (AB * h * (1/2 * (AB / h))) / 2 = (AB * AB) / 4

Et en simplifiant davantage :

Aire(triangle) = (AB^2) / 4

Cette formule est équivalente à la formule de l’aire d’un triangle :

Aire(triangle) = (base * hauteur) / 2

La formule de l’aire d’un triangle est donc justifiée par la trigonométrie.

Avis de la rédaction

L’aire d’un triangle est un concept fondamental en géométrie et sa justification est essentielle pour comprendre son calcul. Les différentes méthodes de justification présentées dans cet article démontrent la validité de la formule de l’aire d’un triangle. Que ce soit par découpage et recollement, par l’aire du parallélogramme ou par la trigonométrie, toutes ces approches permettent de justifier mathématiquement la formule de l’aire d’un triangle. Il est important de comprendre ces justifications pour pouvoir appliquer correctement le calcul de l’aire d’un triangle dans divers contextes.

FAQ

1. Pourquoi la formule de l’aire d’un triangle est-elle (base * hauteur) / 2 ?

La formule de l’aire d’un triangle est dérivée de la géométrie et peut être justifiée de différentes manières, telles que par découpage et recollement, par l’aire du parallélogramme ou par la trigonométrie. Toutes ces méthodes démontrent la validité de la formule et permettent de calculer l’aire d’un triangle en utilisant sa base et sa hauteur.

2. Peut-on utiliser une autre formule pour calculer l’aire d’un triangle ?

La formule de l’aire d’un triangle (base * hauteur) / 2 est la plus couramment utilisée et est valable pour tous les types de triangles. Cependant, il existe d’autres formules spécifiques pour certains types de triangles, tels que le triangle équilatéral ou le triangle rectangle. Ces formules sont basées sur des propriétés spécifiques de ces types de triangles.

3. Comment mesure-t-on la hauteur d’un triangle ?

La hauteur d’un triangle est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet opposé. Pour mesurer la hauteur d’un triangle, vous pouvez utiliser un outil de mesure, tel qu’une règle ou un mètre, pour mesurer la distance entre la base et le sommet opposé en ligne droite.

4. Peut-on calculer l’aire d’un triangle sans connaître sa hauteur ?

Oui, il est possible de calculer l’aire d’un triangle sans connaître sa hauteur. Il existe différentes méthodes pour le faire, telles que la formule de Héron, qui utilise les longueurs des côtés du triangle pour calculer son aire. Cependant, la formule de l’aire d’un triangle (base * hauteur) / 2 est la plus couramment utilisée et nécessite la connaissance de la base et de la hauteur.

5. Pourquoi l’aire d’un triangle est-elle importante dans différents domaines ?

L’aire d’un triangle est importante dans de nombreux domaines, tels que l’architecture, la construction, la cartographie, etc. Elle permet de mesurer la surface occupée par un triangle dans un plan et est utilisée pour calculer des dimensions, des volumes, des superficies, etc. L’aire d’un triangle est également utilisée pour résoudre des problèmes géométriques et pour effectuer des calculs mathématiques plus avancés.

Sources :

• Geometry: A Comprehensive Course by Dan Pedoe
• Mathematics for Engineers and Scientists by Alan Jeffrey
• https://www.mathsisfun.com/geometry/triangles.html
• https://www.mathopenref.com/trianglearea.html